数学 : フーリエ変換

前提知識

フーリエ変換とは

任意の関数は正弦波の和で表すことができる(関数の完全性)

$ x(t)=\sum_{n=0}^\infty a_n exp(i \omega t n )

フーリエ級数展開をベクトルで直観的に理解する

フーリエ変換

$ F(c)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2 \pi i x c} dx

$ F(c)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i x c} dx

離散フーリエ変換

$ F(t)=\sum_{x=0}^{N-1}f(x)exp(-i \frac{2\pi t x}{N})

$ N : 任意の自然数(標本点の個数)

$ x : 標本点 (x = 0, 1, 2, \cdots N - 1)

$ \pi : 円周率

$ i : 虚数単位 (i^2 = -1)

オイラーの公式

$ e^{i \theta} = cos \theta + i \cdot sin \theta

$ e^{i \pi} = -1

フーリエ変換の利用例 : 画像処理

2次元のフーリエ変換は画像の周波数成分を解析するのに利用される

５．周波数領域における画像処理

2次元フーリエ変換

関連用語

標本点

行列

対称行列

複素関数

周波数解析

畳み込み積分

フーリエ級数

離散フーリエ変換(DFT)

高速フーリエ変換(FFT)

高周波問題 : エイリアシング

内積

直行基底

離散フーリエ変換の積 : 畳み込み定理

スペクトル漏れの対策 : 窓関数を使う

グラム・シュミットの直交化

固有ベクトルを用いた対角化

正規直交基底

フーリエ変換とδ関数の関係

変分原理

回転生成子を用いた回転変換

完備な複素距離空間

参考リンク

フーリエ変換

第９回　フーリエ変換と離散フーリエ変換（６月９日）

フーリエ変換が可能な条件

定理「非周期関数がの区間で区分的に滑らかで、かつ、絶対可積分ならば、そのフーリエ変換が存在する。」

離散フーリエ変換、逆離散フーリエ変換

スペクトル解析を用いた信号特性の解析手法

6. 離散フーリエ変換